Question

【題目】(1)操作發現：如圖①，D是等邊△ABC的邊BA上一動點(點D與點B不重合)，連接DC，以DC為邊在BC上方作等邊△DCF，連接AF，你能發現AF與BD之間的數量關系嗎？并證明你發現的結論；

(2)類比猜想：如圖②，當動點D運動至等邊△ABC邊BA的延長線時，其他作法與(1)相同，猜想AF與BD在(1)中的結論是否仍然成立？

(3)深入探究：Ⅰ.如圖③，當動點D在等邊△ABC邊BA上運動時(點D與B不重合)，連接DC，以DC為邊在BC上方和下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′，連接AF，BF′，探究AF，BF′與AB有何數量關系？并證明你的探究的結論；Ⅱ.如圖④，當動點D在等邊△ABC的邊BA的延長線上運動時，其他作法與圖③相同，Ⅰ中的結論是否成立？若不成立，是否有新的結論？并證明你得出的結論．

Answer 1

【答案】（1）AF=BD；證明見解析；（2）成立，證明見解析；（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；證明見解析；Ⅱ．Ⅰ中的結論不成立．新的結論是AF=AB+BF′；證明見解析.

【解析】解：（1）AF=BD。證明如下：

∵△ABC是等邊三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°（等邊三角形的性質）。

同理知，DC=CF，∠DCF=60°。

∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA，即∠BCD=∠ACF。

在△BCD和△ACF中，∵BC=AC，∠BCD=∠ACF，DC=CF，

∴△BCD≌△ACF（SAS）。∴BD=AF（全等三角形的對應邊相等）。

（2）AF=BD仍然成立。

（3）Ⅰ．AF+BF′=AB。證明如下：

由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），則BD=AF。

同理△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD。

∴AF+BF′=BD+AD=AB。

Ⅱ．Ⅰ中的結論不成立，新的結論是AF=AB+BF′。證明如下：

在△BCF′和△ACD中，∵BC=AC，∠BC F′=∠ACD，F′C=DC，

∴△BCF′≌△ACD（SAS）。∴BF′=AD（全等三角形的對應邊相等）。

又由（2）知，AF=BD，∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′。

（1）根據等邊三角形的三條邊、三個內角都相等的性質，利用全等三角形的判定定理SAS可以證得△BCD≌△ACF；然后由全等三角形的對應邊相等知AF=BD。

（2）通過證明△BCD≌△ACF，即可證明AF=BD。

（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的對應邊BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD，所以AF+BF′=AB。

Ⅱ．Ⅰ中的結論不成立，新的結論是AF=AB+BF′：通過證明△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD（全等三角形的對應邊相等），再結合（2）中的結論即可證得AF=AB+BF′