Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BF⊥AD，AD的延長線交BF于E，且E為垂足，則結論①AD=BF，②CF=CD，③AC+CD=AB，④BE=CF，⑤BF=2BE，其中正確的結論的個數是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

Answer 1

【答案】A．

【解析】

試題分析：①∵BC=AC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAF=22.5°，∵在Rt△ACD與Rt△BFC中，∠EAF+∠F=90°，∠FBC+∠F=90°，∴∠EAF=∠FBC，∵BC=AC，∠EAF=∠FBC，∠BCF=∠AEF，∴Rt△ADC≌Rt△BFC，∴AD=BF；

故①正確；

②∵①中Rt△ADC≌Rt△BFC，∴CF=CD，故②正確；

③∵①中Rt△ADC≌Rt△BFC，∴CF=CD，AC+CD=AC+CF=AF，∵∠CBF=∠EAF=22.5°，∴在Rt△AEF中，∠F=90°﹣∠EAF=67.5°，∵∠CAB=45°，∴∠ABF=180°﹣∠F﹣∠CAB=180°﹣67.5°﹣45°=67.5°，∴AF=AB，即AC+CD=AB，故③正確；

④由③可知，△ABF是等腰三角形，∵BE⊥AD，∴BE=BF，∵在Rt△BCF中，若BE=CF，則∠CBF=30°，與②中∠CBF=22.5°相矛盾，故BE≠CF，故④錯誤；

⑤由③可知，△ABF是等腰三角形，∵BE⊥AD，∴BF=2BE，故⑤正確．

所以①②③⑤四項正確．

故選A．