Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，∠B=∠C,點D為AB的中點．

(1)如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．

①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1s后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；

②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為時________cm/s，在運動過程中能夠使△BPD與△CQP全等.(直接填答案)

(2)若點Q以②中的運動速度從點C出發，點P以原來的運動速度從點B同時出發，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇?

Answer 1

【答案】（1）①△BPD≌△CQP，理由見解析；②；（2）經過s點P與點Q第一次在△ABC的AB邊上相遇

【解析】

（1）①通過t=1，算出各邊長度證明全等即可；②點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，則BP≠CQ，則BP=PC=4，CQ=BD=5，算出速度即可；（2）點P和點Q相當于圍著△ABC逆時針運動的追擊問題，找到速度差和追擊路程即可解答.

解：（1）①△BPD≌△CQP，

理由如下：

∵t=1s，

∴BP=CQ=3×1=3（cm），

∵AB=10cm，點D為AB的中點，

∴BD=5cm，

又∵PC=BC-BP，BC=8cm，

∴PC=8-3=5（cm），

∴PC=BD．

又∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△BPD和△CQP中

∴△BPD≌△CQP（SAS）；

∵P，Q的速度不相等，

∴BP≠CQ，

∵△BPD≌△CQP，∠B=∠C，

則BP=PC=4，CQ=BD=5，

∴點P，點Q運動的時間t=

∴vQ=5÷= cm/s，

∴當點Q的運動速度為 cm/s能夠使△BPD與△CQP全等．

（2）∵P點的速度為3 cm/s，點Q的運動速度為 cm/s，

Q、P速度差為-3= cm/s，

則追上的時間為20÷=s，

則P運動路程為×3=80cm，

∵BA=AC=10cm，CB=8cm，

∴△ABC的周長為28cm,

80÷28=2······24cm，24-8-10=6cm，

則在AB邊上點P與點Q第一次相遇.