Question

【題目】如圖，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC勻速運動，其中點P運動的速度是1cm/s，點Q運動的速度是2cm/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設運動時間為t（s），解答下列問題：

（1）當t＝2時，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；

（2）設△BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數關系式；

（3）作QR//BA交AC于點R，連結PR，當t為何值時，△APR∽△PRQ？

Answer 1

【答案】（1）△BPQ是等邊三角形；（2）S=-t2+3t；（3）當t=時，△APR∽△PRQ．

【解析】

試題（1）當t=2時，分別求出BQ和BP的長度，然后進行說明；（2）過點Q作QE⊥AB，利用三角函數求出QE的長度，然后求出△BPQ與t之間的關系；（3）根據題意可得△CRQ為等邊三角形，求出QR、BE、EP與t的關系可以得出四邊形EPQR是平行四邊形，然后進行計算.

試題解析：（1）△BPQ是等邊三角形

當t=2時 AP=2×1=2，BQ=2×2=4

∴BP=AB﹣AP=6﹣2=4 ∴BQ=BP 又∵∠B=60°

∴△BPQ是等邊三角形；

（2）過Q作QE⊥AB，垂足為E

由QB=2t，得QE=2tsin60°=t 由AP=t，得PB=6﹣t

∴S△BPQ=×BP×QE=（6﹣t）×t=﹣t

∴S=﹣t；

（3）∵QR∥BA ∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°

∴△QRC是等邊三角形 ∴QR=RC=QC=6﹣2t

∵BE=BQcos60°=×2t=t

∴EP=AB﹣AP﹣BE=6﹣t﹣t=6﹣2t

∴EP∥QR，EP=QR ∴四邊形EPRQ是平行四邊形

∴PR=EQ=t 又∵∠PEQ=90°， ∴∠APR=∠PRQ=90° ∵△APR∽△PRQ，

∴∠QPR=∠A=60° ∴tan60°=即解得t=

∴當t=時，△APR∽△PRQ．