Question

【題目】如圖，在△ABC 中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的角平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F

（1）求證：EO=FO；

（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) 當O運動到OA=OC處，四邊形AECF是矩形.理由見解析.

【解析】

（1）由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行線的性質有∠1=∠3，等量代換有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF；
（2）OA=OC，那么可證四邊形AECF是平行四邊形，又CE、CF分別是∠BCA及其外角的角平分線，易證∠ECF是90°，從而可證四邊形AECF是矩形．

(1)當點O運動到AC中點時,四邊形AECF是矩形;理由如下：

如圖所示：

∵CE平分∠BCA，
∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，
同理，FO=CO，
∴EO=FO；
(2)當O運動到OA=OC處，四邊形AECF是矩形.理由如下：

∵OA=OC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵CF是∠BCA的外角平分線，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠1+∠5=∠2+∠4，
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，
∴∠2+∠4=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形.