Question

【題目】綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線與軸交于點，與軸交于點，，拋物線的對稱軸交拋物線于點，交軸于點，交直線于點．

（1）求拋物線的函數表達式及其對稱軸：

（2）點是線段上一點，且，求點的坐標；

（3）若點是拋物線上任意一點，點是直線上任意一點，點是平面上任意一點，是否存在這樣的點，，，使得以點，，，為頂點的四邊形是正方形，若存在，請直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；x=2；（2）；（3）Q點的坐標為．

【解析】

（1）將點B、C坐標代入即可得出拋物線解析式，再根據求對稱軸公式求對稱軸即可；

（2）先根據直線解析式以及拋物線解析式求出點F的坐標，得出，再根據可得出，從而確定點G的坐標；

（3）通過分析當CP為正方形的邊且M位于直線下方拋物線上時可得出以點，，，為頂點的四邊形是正方形，畫出示意圖，再根據正方形的性質求解即可．

解：（1）∵拋物線經過，，

∴解得

∴拋物線的函數表達式為．

∴拋物線的對稱軸為直線．

（2）∵拋物線與軸交于點，

∴當時，．

∴．

設直線的函數表達式為．

把，代入，得解得

∴直線的函數表達式為．

當時，，∴．

∵，

∴，．

在中，，

∴．

∴．

在中，，

∴．

∴，即．

∴．

∴．

（3）存在，，理由如下：

若以點，，，為頂點的四邊形是正方形，則相鄰的兩邊垂直且相等．

當CP為對角線時，則需，不存在符合條件的Q點；

當CP為對角線，CM為邊時，若點M位于直線AC上方拋物線上時，同理需要，不存在符合條件的Q點；

點M位于直線AC下方拋物線上時，即點B與點M重合時，存在點Q，使以點，，，為頂點的四邊形是正方形．

過點B作，

∵

∴

∴

∵以，，，為頂點的四邊形是正方形

∴，關于BC對稱

過點D作

∴

∵直線AC的解析式為

∴當時，

∴

∴