Question

【題目】某商店銷售A型和B型兩種電腦，其中A型電腦每臺的利潤為400元，B型電腦每臺的利潤為500元．該商店計劃再一次性購進兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進貨量不超過A型電腦的2倍，設購進A型電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為y元．

（1）求y關于x的函數關系式；

（2）該商店購進A型、B型電腦各多少臺，才能使銷售總利潤最大，最大利潤是多少？

（3）實際進貨時，廠家對A型電腦出廠價下調a（0＜a＜200）元，且限定商店最多購進A型電腦60臺，若商店保持同種電腦的售價不變，請你根據以上信息，設計出使這100臺電腦銷售總利潤最大的進貨方案．

Answer 1

【答案】(1) =﹣100x+50000；(2) 該商店購進A型34臺、B型電腦66臺，才能使銷售總利潤最大，最大利潤是46600元；(3)見解析.

【解析】（1）根據“總利潤=A型電腦每臺利潤×A電腦數量+B型電腦每臺利潤×B電腦數量”可得函數解析式；

（2）根據“B型電腦的進貨量不超過A型電腦的2倍且電腦數量為整數”求得x的范圍，再結合（1）所求函數解析式及一次函數的性質求解可得；

（3）據題意得y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，分三種情況討論，①當0＜a＜100時，y隨x的增大而減小，②a=100時，y=50000，③當100＜m＜200時，a﹣100＞0，y隨x的增大而增大，分別進行求解．

（1）根據題意，y=400x+500（100﹣x）=﹣100x+50000；

（2）∵100﹣x≤2x，

∴x≥，

∵y=﹣100x+50000中k=﹣100＜0，

∴y隨x的增大而減小，

∵x為正數，

∴x=34時，y取得最大值，最大值為46600，

答：該商店購進A型34臺、B型電腦66臺，才能使銷售總利潤最大，最大利潤是46600元；

（3）據題意得，y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，

33≤x≤60，

①當0＜a＜100時，y隨x的增大而減小，

∴當x=34時，y取最大值，

即商店購進34臺A型電腦和66臺B型電腦的銷售利潤最大．

②a=100時，a﹣100=0，y=50000，

即商店購進A型電腦數量滿足33≤x≤60的整數時，均獲得最大利潤；

③當100＜a＜200時，a﹣100＞0，y隨x的增大而增大，

∴當x=60時，y取得最大值．

即商店購進60臺A型電腦和40臺B型電腦的銷售利潤最大．