Question

【題目】如圖，在中，，點，，分別在邊，，上，且，，連結，，，

（1）求證：．

（2）判斷的形狀，并說明理由．

（3）若，當_______時，．請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△ABC是等邊三角形，理由見解析；（3），理由見解析

【解析】

（1）根據等邊對等角可證∠B＝∠C，然后利用SAS即可證出結論；

（2）根據全等三角形的性質可得∠BFD＝∠CDE，從而得出∠B＝∠1＝60°，然后根據等邊三角形的判定定理即可得出結論；

（3）作FM⊥BC于M，利用30°所對的直角邊是斜邊的一半即可求出BM，從而求出BD．

（1）證明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

在△BDF和△CED中，

，

∴△BDF≌△CED（SAS）；

（2）解：△ABC是等邊三角形，理由如下：

由（1）得：△BDF≌△CED，

∴∠BFD＝∠CDE，

∵∠CDF＝∠B+∠BFD＝∠1+∠CDE，

∴∠B＝∠1＝60°，

∵AB＝AC，

∴△ABC是等邊三角形

（3）解：當時，DF⊥BC，理由如下：

作FM⊥BC于M，如圖所示：

由（2）得：△ABC是等邊三角形，

∴∠B＝∠C＝60°，

∵FM⊥BC，

∴∠BFM＝30°，

∴，

∴，

∵

∴M與D重合，

∴時，DF⊥BC

故答案為：．