Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（4，1）的拋物線交y軸于點A，交x軸于B，C兩點（點B在點C的左側），已知C點坐標為（6，0）．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）已知點P是拋物線上的一個動點，且位于A，C兩點之間．問：當點P運動到什么位置時，△PAC的面積最大？求出△PAC的最大面積；
（3）連接AB，過點B作AB的垂線交拋物線于點D，以點C為圓心的圓與拋物線的對稱軸l相切，先補全圖形，再判斷直線BD與⊙C的位置關系并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線的頂點為（4，1），

∴設拋物線解析式為y=a（x﹣4）2+1．

∵拋物線經(jīng)過點C（6，0），

∴0=a（6﹣4）2+1，解得a=﹣ ，
∴y=﹣ （x﹣4）2+1=﹣ x2+2x﹣3．

所以拋物線的解析式為y=﹣ x2+2x﹣3．

（2）解：如圖1，過點P作平行于y軸的直線交AC于點Q，

∵A（0，﹣3），C（6，0），

∴直線AC解析式為y= x﹣3．

設P點坐標為（m，﹣ m2+2m﹣3），

則Q點的坐標為（m， m﹣3），

∴PQ=﹣ m2+2m﹣3﹣（ m﹣3）=﹣ m2+ m，

∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ= ×（﹣ m2+ m）×6=﹣ （m﹣3）2+ ，

∴當m=3時，△PAC的面積最大為 ．

∵當m=3時，﹣ m2+2m﹣3= ，

∴P點坐標為（3， ）．

綜上：P點的位置是（3， ），△PAC的最大面積是 ．

（3）解：判斷直線BD與⊙C相離．

證明：令﹣ （x﹣4）2+1=0，解得x1=2，x2=6，

∴B點坐標（2，0）．

又∵拋物線交y軸于點A，

∴A點坐標為（0，﹣3），

∴AB= ．

設⊙C與對稱軸l相切于點F，則⊙C的半徑CF=2，

作CE⊥BD于點E，如圖2，則∠BEC=∠AOB=90°．

∵∠ABD=90°，

∴∠CBE=90°﹣∠ABO．

又∵∠BAO=90°﹣∠ABO，

∴∠BAO=∠CBE．

∴△AOB∽△BEC，

∴ ，

∴ ，

∴CE= ＞2．

∴直線BD與⊙C相離．

【解析】（1）由于本題告訴了拋物線的頂點，故設頂點式，然后又把點C的坐標代入即可求出二次項系數(shù)a的值，從而得出函數(shù)解析式；
（2）如圖1，過點P作平行于y軸的直線交AC于點Q，由A,C兩點的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，根據(jù)拋物線上點的坐標特點設出P點的坐標，進而表示出Q點的坐標，從而表示出PQ的長度，根據(jù)S△PAC=S△PAQ+S△PCQ，建立出函數(shù)關系式，并化為頂點式知當m=3時，△PAC的面積最大，然后把m=3代入P點的坐標表達式，從而得出P點的坐標；
（3）判斷直線BD與⊙C相離．首先找到B、A點的坐標，根據(jù)勾股定理得出AB的長，設⊙C與對稱軸l相切于點F，則⊙C的半徑CF=2，作CE⊥BD于點E，如圖2，則∠BEC=∠AOB=90°，然后根據(jù)同角的余角相等得出∠BAO=∠CBE，進而判斷出△AOB∽△BEC，根據(jù)相似三角形的性質得性質得出CE的長從而根據(jù)直線與圓的位置關系作出判斷即可。
【考點精析】掌握相似三角形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．