Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，過點D作DE⊥AC，垂足為F，
DE與AB相交于點E．
（1）求證：ABAF=CBCD；
（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是線段DE上的動點．設DP=x cm，梯形BCDP的面積為y ．
①求y關于x的函數關系式．
②y是否存在最大值？若有求出這個最大值，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD=CD，DE⊥AC，

∴DE垂直平分AC，

∴AF=CF，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF．

∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，

∴∠DCF=∠DAF=∠B．

在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B，

∴△DCF∽△ABC．

∴ ，即 ，

∴ABAF=CBCD；

（2）解：連接PB，

①∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°，

∴AC= =12，

∴CF=AF=6．

∴y= （x+9）×6=3x+27；

②由EF∥BC，得△AEF∽△ABC．

AE=BE= AB= ，EF= ．

由∠EAD=∠AFE=90°，∠AEF=∠DEA，得△AEF∽△DEA．

Rt△ADF中，AD=CD= =10，AF=6，

∴DF=8．

∴DE=DF+FE=8+ = ．

∵y=3x+27（0≤x≤ ），函數值y隨著x的增大而增大，

∴當x= 時，y有最大值，此時y= ．

【解析】（1）首先判斷出DE垂直平分AC，然后根據中垂線的性質及等邊對等角得出AF=CF，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF，然后根據同角的余角相等得出∠DCF=∠DAF=∠B，進而判斷出△DCF∽△ABC，根據相似三角形對應邊成比例得出結論；
（2）連接PB，①根據勾股定理算出AC,進而得出CF=AF=6，然后根據梯形的面積公式得出y關于x的函數關系式；②由EF∥BC，得△AEF∽△ABC．由相似三角形對應邊成比例得出AE,BE,EF的長，然后再判斷出△AEF∽△DEA，根據相似三角形的性質得出DF的長，進而得出DE=DF+FE，最后根據一次函數的性質得出結論。
【考點精析】認真審題，首先需要了解線段垂直平分線的判定(和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上)，還要掌握線段垂直平分線的性質(垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等)的相關知識才是答題的關鍵．