Question

【題目】已知直線l與⊙O，AB是⊙O的直徑，AD⊥l于點D．

（1）如圖①，當直線l與⊙O相切于點C時，求證：AC平分∠DAB；
（2）如圖②，當直線l與⊙O相交于點E，F時，求證：∠DAE=∠BAF．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC，

∵直線l與⊙O相切于點C，

∴OC⊥CD；

又∵AD⊥CD，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠ACO；

又∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

即AC平分∠DAB；

（2）解：如圖②，連接BF，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AFB=90°，

∴∠BAF+∠B=90°，

∴∠AEF=∠ADE+∠DAE，

在⊙O中，四邊形ABFE是圓的內接四邊形，

∴∠AEF+∠B=180°，
∴∠ADE+∠DAE+∠B=180°，
故∠DAE+∠B=90°，

∴∠BAF=∠DAE．

【解析】（1）連接OC，根據切線的性質知OC⊥CD，然后根據同一平面內，垂直于同一直線的兩條直線平行得AD∥OC，根據二直線平行，內錯角相等得出∠DAC=∠ACO；根據等邊對等角得∠ACO=∠CAO，進而得∠DAC=∠CAO，故AC平分∠DAB；
（2）如圖②，連接BF， 根據直徑所對的圓周角是直角得∠AFB=90°，根據三角形的內角和得∠BA+∠B=90°，根據三角形的外角定理得∠AEF=∠ADE+∠DAE，根據圓的內接四邊形對角互補得∠AEF+∠B=180°，即∠ADE+∠DAE+∠B=180°，故∠DAE+∠B=90°，根據同角的余角相等得出∠BAF=∠DAE．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解余角和補角的特征的相關知識，掌握互余、互補是指兩個角的數量關系，與兩個角的位置無關，以及對平行線的判定與性質的理解，了解由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質．