Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D為BC中點，點E在邊AB上，連接DE，過點D作DF⊥DE交AC于點F．連接EF．下列結論：①BE+CF＝BC；②AD≥EF；③S四邊形AEDF＝AD2；④S△AEF≤，其中正確的是_____（填寫所有正確結論的序號）．

Answer 1

【答案】①③④．

【解析】

由“ASA”可證△ADE≌△CDF，可得AE＝CF，S△ADE＝S△CDF，由等腰直角三角形的性質可判斷①，③，由三角形的三邊關系可判斷②，由三角形面積關系可判斷④．

解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，點D為BC中點，

∴BD＝CD＝AD＝BC，∠BAD＝∠CAD＝∠C＝45°，AD⊥BC，BC＝AB，

∵DF⊥DE，

∴∠EDF＝∠ADC＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF，且AD＝CD，∠BAD＝∠C，

∴△ADE≌△CDF（ASA），

∴AE＝CF，

∴BE+CF＝BE+AE＝AB，且BC＝AB，

∴BE+CF＝BC，故①正確；

∵AE+AF≥EF，

∴AF+CF≥EF，

∴AC≥EF，

∴AD≥EF，故②錯誤；

∵△ADE≌△CDF，

∴S△ADE＝S△CDF，

∴S四邊形AEDF＝S△ADF+S△CDF＝S△ADC＝×AD2，故③正確；

∵S△AEF＝×AE×AF，且AE+AF＝AC，

∴當AE＝AF時，S△AEF的最大值＝S△ABC，

∴S△AEF≤，故④正確，

故答案為：① ③ ④