Question

【題目】如圖，在中 ，連接，點,分別是的點（點不與點重合），,相交于點.

(1)求，的長；

(2)求證：～；

(3)當時，請直接寫出的長.

Answer 1

【答案】（1）AD=10，BD=10；（2）見解析；（3）AG=．

【解析】

（1）由可證明△ABC∽△DAC，通過相似比即可求出AD，BD的長；

（2）由（1）可證明∠B=∠DAB，再根據已知條件證明∠AFC=∠BEF即可；

（3）過點C作CH∥AB，交AD的延長線于點H，根據平行線的性質得到，計算出CH和AH的值，由已知條件得到≌，設AG=x，則AF=15-x，HG=18-x，再由平行線的性質得到，表達出即可解出x，即AG的值．

解：（1）∵，

∴，

又∵∠ACB=∠DCA，

∴△ABC∽△DAC，

∴，即，

解得：CD=8，AD=10，

∴BD=BC-CD=18-8=10，

∴AD=10，BD=10；

（2）由（1）可知，AD=BD=10，

∴∠B=∠DAB，

∵∠AFE=∠B+∠BEF，

∴∠AFC+∠CFE=∠B+∠BEF，

∵，

∴∠AFC=∠BEF，

又∵∠B=∠DAB，

∴～；

（3）如圖，過點C作CH∥AB，交AD的延長線于點H，

∴，

即，解得：CH=12，HD=8，

∴AH=AD+HD=18，

若，

則≌；

∴BF=AG，

設AG=x，則AF=15-x，HG=18-x，

∵CH∥AB，

∴，即，

解得：，（舍去）

∴AG=．