Question

【題目】在梯形中，，點在直線上，聯結，過點作的垂線，交直線與點，

（1）如圖1，已知，：求證：；

（2）已知：，

① 當點在線段上，求證：；

② 當點在射線上，①中的結論是否成立？如果成立，請寫出證明過程；如果不成立，簡述理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）①證明見解析；②結論仍然成立，證明見解析.

【解析】

（1）過F作FM⊥AD，交AD的延長線于點M，通過AAS證明△ABE≌△EMF，根據全等三角形的性質即可得出AB＝AD；

（2）①在AB上截取AG＝AE，連接EG．通過ASA證明△BGE≌△EDF，根據全等三角形的性質即可得出BE＝EF；

②

（1）如圖：

過F作FM⊥AD，交AD的延長線于點M，

∴∠M=90°，

∵∠BEF=90°，

∴∠AEB+MEF=90°，

∵∠A=90°，

∴∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠MEF=∠ABE，

在△ABE和△EMF中，

，

∴△ABE≌△EMF(AAS)

∴AB=ME，AE=MF，

∵AM∥BC，∠C=45°，

∴∠MDF=∠C=45°，

∴∠DFM=45°，

∴DM=FM，

∴DM=AE，

∴DM+ED=AE+ED，

即AD=EM，

∴AB=AD；

（2）①證明：如圖，

在AB上截取AG＝AE，連接EG，則∠AGE＝∠AEG，

∵∠A＝90°，∠A＋∠AGE＋∠AEG＝180°，

∴∠AGE＝45°，

∴∠BGE＝135°，

∵AD∥BC，

∴∠C＋∠D＝180°，

又∵∠C＝45°，

∴∠D＝135°，

∴∠BGE＝∠D，

∵AB＝AD，AG＝AE，

∴BG＝DE，

∵EF⊥BE，

∴∠BEF＝90°，

又∵∠A＋∠ABE＋∠AEB＝180°，

∠AEB＋∠BEF＋∠DEF＝180°，

∠A＝90°，

∴∠ABE＝∠DEF，

在△BGE與△EDF中，

，

∴△BGE≌△EDF（ASA），

∴BE＝EF；

②結論仍然成立，證明如下，

如圖：

延長BA到點G，使BG=ED，連接EG，

則△EAG是等腰直角三角形，

∴∠EGB=45°，

∵ED∥BC，∠C=45°，

∴∠FDE=45°，

∴∠FDE=45°，

∴∠EGB=∠FDE，

∵∠A=90°，

∴∠AEB+∠ABE=90°，

∵EF⊥EB，

∴∠FED+∠AEB=90°，

∴∠AEB=∠FED，

在△BGE與△EFD中，

，

∴△BGE≌△EDF（ASA），

∴BE＝EF.