Question

【題目】在平面直角坐標系中，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：如果y′＝，那么稱點Q為點P的“伴隨點”．

例如：點（5，6）的“伴隨點”為點（5，6）；點（﹣5，6）的“伴隨點”為點（﹣5，﹣6）．

（1）直接寫出點A（2，1）的“伴隨點”A′的坐標．

（2）點B（m，m+1）在函數y＝kx+3的圖象上，若其“伴隨點”B′的縱坐標為2，求函數y＝kx+3的解析式．

（3）點C、D在函數y＝﹣x2+4的圖象上，且點C、D關于y軸對稱，點D的“伴隨點”為D′．若點C在第一象限，且CD＝DD′，求此時“伴隨點”D′的橫坐標．

（4）點E在函數y＝﹣x2+n（﹣1≤x≤2）的圖象上，若其“伴隨點”E′的縱坐標y′的最大值為m（1≤m≤3），直接寫出實數n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A'的坐標為（2，1）；（2）①當m≥0時，y＝﹣x+3；②m＜0時，y＝x+3；（3）D′的橫坐標為；（4）﹣2≤n≤0、1≤n≤3.

【解析】

（1）由題意即可求解；

（2）分m≥0、m＜0兩種情況分別求解即可；

（3）設點C的橫坐標為n，點C在函數y＝﹣x2+4的圖象上，CD＝DD′，即可求解；

（4）通過畫圖即可求解．

解：（1）由題意得：點A'的坐標為（2，1）

（2）①當m≥0時，

m+1＝2，m＝1

∴B（1，2）

∵點B在一次函數y＝kx圖象上，

∴k+3＝2，

解得：k＝+1

∴一次函數解析式為y＝﹣x+3

②m＜0時，

m+1＝﹣2，m＝﹣3

∴B（﹣3，﹣2）

∵點B在一次函數y＝kx+3圖象上，

∴﹣3k+3＝﹣2

解得：k＝

一次函數解析式為y＝x+3．

（3）設點C的橫坐標為n，點C在函數y＝﹣x2+4的圖象上，

∴點C的坐標為（n，﹣n2+4），

∴點D的坐標為（﹣n，﹣n2+4），D′（﹣n，n2﹣4）

∵CD＝DD′，

∴2n＝2（n2+4），

解得：n＝；

∵點C在第一象限，

∴D′的橫坐標為；

（4）﹣2≤n≤0、1≤n≤3，

當左邊的拋物線在上方時，如圖①、圖②：﹣2≤n≤0；

當右邊的拋物線在上方時，如圖③、圖④：1≤n≤3．