Question

【題目】已知：如圖，⊙O與⊙P相交于A、B兩點，點P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于點A，CP及其延長線交⊙P于D、E，經過E作EF⊥CE交CB的延長線于F．

⑴求證：BC是⊙P的切線；

⑵若CD=2，CB=，求EF的長；

⑶若設k=PE：CE，是否存在實數k，使△PBD恰好是等邊三角形?若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）要證明BC是⊙P的切線，則連接BP，需要證明BP⊥BC．根據已知條件，連接AP．根據切線的性質得到∠PAC=90°，再根據圓周角定理的推論得到CP是直徑，從而得到∠CBP=90°，證明結論；
（2）首先證得△BCD∽△ECB，求得CE的長，再根據Rt△EFC∽Rt△BPC求得EF的長；
（3）根據等邊三角形的性質和含30度角的直角三角形的性質進行求解．

（1）連接PA、PB，

∵AC切⊙P于A，PA是⊙P的半徑，
∴AC⊥PA．
即：∠PAC=90°，

∴CP是⊙O的直徑，

∴∠PBC=90°，
即PB⊥CB，
又∵PB是⊙P的半徑，
∴BC是⊙P的切線；

（2）連接BD、BE、PB，

∵BC是⊙P的切線，

∴∠CBD=∠CEB，

又∠BCD=∠ECB，

∴△BCD∽△ECB，

∴，

∵CD=2，CB=，

∴CE=，

DE=CE-CD=4-2=2．

∴PB=DE =1，

在Rt△EFC和Rt△BPC中，∠ECF=∠BCP，∠FEC=∠PBC=90°，

∴Rt△EFC∽Rt△BPC，

∴，

∴；

（3）存在實數時，△PBD為等邊三角形．

理由如下：

∵△PBD為等邊三角形，

∴∠CPB=60°．
∵CB是⊙P的切線，
∴CB⊥BP，
∴∠BCP=30°，△PBC為直角三角形，
∴PB=PC，PB=PE，
∴PC=2PE，CE=PC+PE，
∴CE=3PE，
∴PE：CE=1：3，

即：時，△PBD為等邊三角形．

【點晴】

本題考查了切線的判定和切線的性質以及相似三角形的判定和相似三角形的性質，勾股定理的應用，含30度角的直角三角形的性質．