Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸的交點為A，B（點A在點B的左側），與y軸的交點為C，連結BC．點M是拋物線上A，C之間的一個動點，過點M作MN∥BC，分別交x軸、拋物線于D，N，過點M作EF⊥x軸，垂足為F，并交直線BC于點E，

（1）求點A，B，C的坐標．
（2）當點M恰好是EF的中點，求BD的長．
（3）連接DE，記△DEM，△BDE的面積分別為S1 ， S2 ， 當BD=1時，則S2﹣S1= ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

令x=0可得y=3，

∴C（0，3）；

（2）

解：∵B（3，0），C（0，3），

∴直線BC解析式為y=﹣x+3，

∵點M是拋物線上A，C之間的一個動點，

∴可設M（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜0），則E（t，﹣t+3），

∴EF=﹣t+3，MF=﹣t2+2t+3，

∵M為EF的中點，

∴﹣t+3=2（﹣t2+2t+3），解得t=﹣ 或t=3（不符合題意，舍去），

∴F（﹣ ，0），

∴BF=3﹣（﹣ ）= ，

∵MN∥BC，

∴D為BF的中點，

∴BD= BF= ；

（3）
【解析】解：（3）如圖，過D作DH∥EF，

∵MN∥BC，
∴四邊形DHEM為平行四邊形，
∴S△DEM=S△DEH ，
∵DH⊥BD，且∠OBC=45°，
∴DH=BD=1，
∴S2﹣S1=S△HDB= BDDH= ×1×1= ，
所以答案是： ．