Question

【題目】如圖所示，拋物線m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）與x軸于點A、B（點A在點B的左側），與y軸交于點C．將拋物線m繞點B旋轉180°，得到新的拋物線n，它的頂點為C1 ， 與x軸的另一個交點為A1 ．

（1）當a=﹣1，b=1時，求拋物線n的解析式；
（2）四邊形AC1A1C是什么特殊四邊形，請寫出結果并說明理由；
（3）若四邊形AC1A1C為矩形，請求出a，b應滿足的關系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當a=﹣1，b=1時，拋物線m的解析式為：y=﹣x2+1．

令x=0，得：y=1．

∴C（0，1）．

令y=0，得：x=±1．

∴A（﹣1，0），B（1，0），

∵C與C1關于點B中心對稱，

∴拋物線n的解析式為：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3

（2）

解：四邊形AC1A1C是平行四邊形．

理由：連接AC，AC1，A1C1，

∵C與C1、A與A1都關于點B中心對稱，

∴AB=BA1，BC=BC1，

∴四邊形AC1A1C是平行四邊形

（3）

解：令x=0，得：y=b．

∴C（0，b）．

令y=0，得：ax2+b=0，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

要使平行四邊形AC1A1C是矩形，必須滿足AB=BC，

∴ ，

∴ ，

∴ab=﹣3．

∴a，b應滿足關系式ab=﹣3．

【解析】（1）根據a=﹣1，b=1得出拋物線m的解析式，再利用C與C1關于點B中心對稱，得出二次函數的頂點坐標，即可得出答案；（2）利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可證明；（3）利用矩形性質得出要使平行四邊形AC1A1C是矩形，必須滿足AB=BC，即可求出．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的性質的相關知識點，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分才能正確解答此題．