Question

【題目】如圖，在中，于點，過點作與邊相切于點，交于點為的直徑．

（1）求證：；

（2）若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據圓的切線的性質得出CE⊥AB，然后進一步利用AB=AC和AD⊥BC證明得BD=DC，從而根據三角形中位線性質得知OD∥EB，由此即可證明結論；

（2）連接EF，首先根據題意得出∠BEF+∠FEC=∠FEC+∠ECF=90°，由此求出∠ECF=∠BEF，再者利用三角函數得出，從而求出EF，再利用勾股定理求得BE，最后利用平行線分線段成比例的性質進一步求解即可.

（1）∵與邊AB相切于點E，且CE為的直徑，

∴CE⊥AB，OE=OC，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=DC，

又∵OE=OC，

∴OD是△BCE的中位線，

∴OD∥EB，

∴OD⊥CE；

（2）如圖，連接EF，

∵CE為的直徑，且點F在上，

∴∠EFC=90°，

∵CE⊥AB，

∴∠BEC=90°，

∴∠BEF+∠FEC=∠FEC+∠ECF=90°，

∴∠ECF=∠BEF，

∴tan∠BEF=tan∠ECF，

∴，

又∵DF=1，BD=DC=3，

∴BF=2，FC=4，

∴，

∴EF=，

∵∠EFC=90°，

∴∠BFE=90°，

由勾股定理可得：BE=，

∵AD⊥BC且∠EFC=90°，

∴EF∥AD，

∴，

∴AE=.