Question

【題目】如圖，在矩形中，是邊的中點，，垂足為點，連接．則列四個結論：

①；②；③；④．其中正確的結論有：

A.4個B.3個C.2個D.1個

Answer 1

【答案】A

【解析】

①通過證明及對頂角相等即可得到答案；

②根據是邊的中點及①中的相似可得可得答案；

③過D作DM∥BE交AC于N，利用平行四邊形的性質證明DM垂直平分CF可得答案；

④由①中的相似得到，設，利用母子三角形的性質求出可得答案．

解：①如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，

，

又因為：，

所以：，故①成立，

②因為：E是的中點，所以：，

因為：，

所以：，

設 則，

所以：，所以，故②成立，

③過D作DM∥BE交AC于N，

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四邊形BMDE是平行四邊形，

∴BM=DE=BC，∴BM=CM， ∴CN=NF，

∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DM垂直平分CF，

∴DF=DC，故③正確；

④因為：，設，則，

所以：，，

因為：，所以：，

所以：，所以④成立；

故選A．