Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，的平分線AE交CD于點F交BC的延長線于點E．

（1）求證：；

（2）連接BF、AC、DE，當時，求證：四邊形ACED是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）由平行四邊形的性質可得AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，即可得∠AEB=∠DAE，由AE是∠BAD的平分線，根據角平分線的定義可得∠BAE=∠DAE，所以∠BAE=∠AEB，即可判定AB=BE，由此即可證得結論；（2）已知AB=BE，BF⊥AE，由等腰三角形三線合一的性質可得AF=EF，再證明△ADF≌△ECF，根據全等三角形的性質可得CF=DF，由對角線互相平分的四邊形為平行四邊形即可判定四邊形ACED是平行四邊形．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，

∴∠AEB=∠DAE，

∵AE是∠BAD的平分線，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，

∴BE=CD；

（2）∵AB=BE，BF⊥AE，

∴AF=EF，

∵AD∥BC，

∴∠ADF=∠ECF，∠DAF=∠AEC，

在△ADF和△ECF中，

，

∴△ADF≌△ECF（AAS），

∴CF=DF，

∵AF=EF，CF=DF，

∴四邊形ACED是平行四邊形．