Question

【題目】定義：在平面直角坐標系中，圖形G上點P（x，y）的縱坐標y與其橫坐標x的差y-x稱為點P的“坐標差”，而圖形G上所有點的“坐標差”中的最大值稱為圖形G的“特征值”

（1）點A（2，6）的“坐標差”為________；

（2）求拋物線y=-x2+5.x+4的“特征值”；

（3）某二次函數y=-x2+bx+c（c≠0）的“特征值”為-1，點B與點C分別是此二次函數的圖象與x軸和y軸的交點，且點B與點C的“坐標差”相等，求此二次函數的解析式；

（4）二次函數y=-x2+px+q的圖象的頂點在“坐標差”為2的一次函數的圖象上，四邊形DEFO是矩形，點E的坐標為（7，3），點O為坐標原點，點D在x軸上點下在x軸上，當二次函數y=-x2+px+q的圖象與矩形的邊只有三個交點時，求此二次函數的解析式及特征值.

Answer 1

【答案】（1）4；（2）8；（3）y=-x2+3x-2；（4）y=-（x-5）2+7，

【解析】

（1）根據題目中的規定易得結論；

（2）根據定義求出y-x是關于x的二次函數，然后利用二次函數的性質求出結論；

（3）先求得拋物線與y軸的交點C（0，c），則點B的坐標為（-c，0）,把點B的坐標代入二次函數解析式得到b=1-c，再將b=1-c代入二次函數解析式，求出特征值y-x的代數式，然后由坐標值為-1求出c的值，繼而求出b的值，即可求出二次函數解析式；

（4）先求出“坐標差”為2的一次函數的解析式為y=x+2，由二次函數y=-x2+px+q的圖象的頂點在直線y=x+2上，用頂點式可設二次函數為y=-（x-m）2+m+2.在兩種情況下二次函數的圖象與矩形只有三個交點：①拋物線頂點在直線y=x+2與FE的交點上時（如圖①）；②拋物線右側部分經過點E時（如圖②）.然后分別把（1，3）、（7，3）分別代入y=-（x-m）2+m+2，解得m的值，即可求出二次函數解析式，繼而求出其特征值.

（1）根據“坐標差”的定義得：6-2=4；

（2）y-x=-x2+5x+4-x=-x2+4x+4=-（x-2）2+8，特征值是8

（3）由題意，得點C的坐排為（0，c），

∵點B與點C的“坐標差”相等，

∴B（-c.0），把B（-c，0）代入y=-x2+bx+c，得0=-（-c）2+b×（-c）+c，

∴b=1-c，

∴y=-x2+（1-c）x+c，

∵二次函數y=-x2+（1-c）x+c的“特征值”為-1.

∴y-x=-x2+(1-c)x+c-x=-x2-cx+c，

∴=-1，

∴c=-2，

∴b=3，

∴二次函數的解析式為y=-x2+3x-2

（4）解：“坐標差”為2的一次函數為y=x+2，

∵二次函數y=-x2+px+q的圖象的頂點在直線y=x+2上，

∴設二次函數為y=-（x-m）2+m+2，

二次函數的圖象與矩形有三個交點，如圖①、②，把（1，3）代入y=-（x-m）2+m+2，得3=-（1-x）2+m+2，解得m1=1，m2=2（合去），

∴二次函數的解新式為y=-（x-1）2+3，

∴y-x=-（x-1）2+3-x=-x2+x+2=-（x-）2+，特征值是；

把（7，3）代入y=-（x-m）2+m+2，得3=-（7-m）2+m+2，解得m1=5，m2=10（舍去），

二次函數的解析或為y=-（x-5）2+7，

∴y-x=-(x-5)2+7-x=-x2+9x-18=-（x-）2+，特征值是.