Question

【題目】定義：點P（a，b）關于原點的對稱點為P′，以PP′為邊作等邊△PP′C，則稱點C為P的“等邊對稱點”；

（1）若P（1，3），求點P的“等邊對稱點”的坐標．

（2）平面內有一點P（1，2），若它其中的一個“等邊對稱點”C在第四象限時，請求此C點的坐標；

（3）若P點是雙曲線y＝（x＞0）上一動點，當點P的“等邊對稱點”點C在第四象限時，

①如圖（1），請問點C是否也會在某一函數圖象上運動？如果是，請求出此函數的解析式；如果不是，請說明理由．

②如圖（2），已知點A （1，2），B （2，1），點G是線段AB上的動點，點F在y軸上，若以A、G、F、C這四個點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點C的縱坐標yc的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）C 或C（；（3）yc≤﹣6或﹣3＜yc≤﹣2；

【解析】

（1）由定義可知P’的坐標，設C坐標為（m，n），進而根據兩點坐標公式和等邊三角形三邊相等即可列出方程求解即可.

（2）同（1）求出點C坐標，根據它其中的一個“等邊對稱點”C在第四象限可得C點坐標.

（3）①設P（c，），則P'（﹣c，﹣），設C點坐標為（s，t），同（1）列方程組即可求出C點坐標為,即可求出點C運動的函數解析式.

②設G點橫坐標為t，則由直線AB解析式可知G點坐標為（t，-t+3），由F點在x軸可知其橫坐標為0，分兩種情況可：I. 當AG為平行四邊形的邊時，則C點坐標為（t-1，yc），II.AG為對角線，則C點坐標為（2t，yc）因為C在上，故由t的取值范圍即可確定yc的取值范圍.

解：（1）∵P（1，3），

∴P'（﹣1，﹣3），

∴PP'2＝40，

∴PC2＝P'C2＝40，

設C（a，b），

∴a＝﹣3b，

∴b＝，

∴C（3，﹣）或C（﹣3，）；

（2））∵P（1，2），

∴P'（﹣1，﹣2），

∴PP'2＝20，

∴PC2＝P'C2＝20，

設C（a，b），

∴，

∴a＝﹣2b，

∴b＝，

∴C（2，﹣）或C（﹣2，），

∵C在第四象限，

∴C（2，﹣）；

（3）①設P（c，），

∴P'（﹣c，﹣），

∴PP'2＝，

PC2＝P'C2＝，

設C（s，t），

∴，

∴s＝，

∴t2＝3c2，

∴t＝ ，

∴C 或C，

∴點C在第四象限，c＞0，

∴C，

令，

∴xy＝﹣6，即y＝（x＞0）；

②∵A（1，2），B（2，1），

∴經過AB直線為y=-x+3，

設G點為（t，3-t），

I. 當AG為平行四邊形的邊時，

∵F在y軸上，故C點橫坐標為t-1，

又∵點C在y＝（x＞0）上，

∴，

∵G在線段AB上，

∴1＜t≤2，

∴≤-6，

II.當AG為對角線時，F在y軸上，故C點橫坐標為2t，

∴，

∵G在線段AB上，

∴1＜t≤2，

∴-3＜≤2.

綜上所述：yc≤﹣6或﹣3＜yc≤﹣2；