Question

【題目】在平面直角坐標系中，、為平面內不重合的兩個點，若到、兩點的距離相等，則稱點是線段的“似中點”．

(1)已知，， 在點、、、中，線段的“似中點”是點 ．

(2)直線與軸交于點，與軸交于點．

①若點是線段的“似中點”，且在坐標軸．上，求點的坐標；

②若的半徑為2，圓心為，若上存在線段的“似中點”，請直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）D，F；（2）①(1，0)和(0，)；②-3≤t≤5．

【解析】

（1）分別求出點A，B與點C，D，E，F的距離，再根據“似中點”的定義，進行判斷即可；

（2）①由題意得：點H為MN的垂直平分線與坐標軸的交點，畫出圖形，根據含30°角的直角三角形的性質，即可求解；②設點P到H1H2的距離為h，則當h≤2時，上存在線段的“似中點”， h=，進而即可求出答案．

（1）∵，，、、、，

∴,

,

,

,

∴，,

∴線段的“似中點”是點D，F．

故答案是：D，F；

（2）①由題意可知：M(-1，0)，N(0，)，

∴∠NMO=60°，MN=，

∵點是線段的“似中點”，且在坐標軸上，

∴點H為MN的垂直平分線與坐標軸的交點，

∴∠MH1H2=30°，

∴H1M=2，

∴H1(1，0)，

∵OH2=OH1=，

∴H2(0，)，

綜上所述，點的坐標為：(1，0)和(0，)；

②若上存在線段的“似中點”，則與線段MN的垂直平分線H1H2有公共點．

設點P到H1H2的距離為h，則當h≤2時，上存在線段的“似中點”，

∵∠H2H1O=30°，

∴h=H1P=，

∴≤2，解得：-3≤t≤5．