Question

22、問題：你能比較2009²⁰¹⁰和2010²⁰⁰⁹的大小嗎？
為了解決這個問題，我們先把它抽象成數學問題，寫出它的一般形式，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n為正整數），我們從n=1，n=2，n=3…這些簡單的情況入手，從中發現規律，經過歸納，猜出結論．
（1）通過計算，比較下列各組數字大小
①1²

＜

2¹②2³

＜

3²③3⁴

＞

4³
④4⁵

＞

5⁴⑤5⁴

＞

6⁵⑥6⁷

＞

7⁶
…
（2）把第（1）題的結果經過歸納，你能得出什么結論？
（3）根據上面的歸納猜想得到的結論，試比較兩個數的大小：
2009²⁰¹⁰

＞

2010²⁰⁰⁹（填“＞”、“＜”或“=”）

Answer 1

分析：（1）通過計算即可得出答案，（2）分類進行討論：當n≤2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，當n＞2時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，（3）根據規律進行比較即可．

解答：解：（1）通過計算得出：1²＜2¹，2³＜3²，3⁴＜4³，4⁵＞5⁴，5⁴＞6⁵，6⁷＞7⁶，
（2）把第（1）題的結果經過歸納得出：
當n≤2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
當n＞2時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，
（3）根據以上結論得出：2009²⁰¹⁰＞2010²⁰⁰⁹，
故答案為2009²⁰¹⁰＞2010²⁰⁰⁹．

點評：本題考查了有理數的乘方和有理數大小比較，解題的關鍵是通過計算發現規律，然后根據規律進行判斷就容易了．