Question

18、問題：你能比較2005²⁰⁰⁶和2006²⁰⁰⁵的大小嗎？
為了解決這個問題，我們先把它抽象成數(shù)學(xué)問題，寫出它的一般形式，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n為正整數(shù)），我們從n=1，n=2，n=3…這些簡單的情況入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納，猜出結(jié)論．
（1）通過計算，比較下列各組數(shù)字大小
①1²

＜

2¹  ②2³

＜

3² ③3⁴

＞

4³
④4⁵

＞

5⁴     ⑤5⁶

＞

6⁵      ⑥6⁷

＞

7⁶
…
（2）根據(jù)上面的歸納猜想得到的結(jié)論，試比較下列兩個數(shù)的大小  2005²⁰⁰⁶

＞

2006²⁰⁰⁵（填”＞”，”＜”，“=”）
（3）把第（1）題的結(jié)果經(jīng)過歸納，你能得出什么結(jié)論？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)乘方的意義，計算各個數(shù)，即可作出比較；
（2）根據(jù)（1）可以得到規(guī)律：相鄰的兩個正整數(shù)，其中一個作底數(shù)，另一個作指數(shù)，較小的數(shù)作底數(shù)所得的冪較大，據(jù)此即可直接比較；
（3）把（1）中得到的規(guī)律，中的相鄰的兩個數(shù)用n和n+1表示，即可得到．

解答：解：（1）通過計算，比較下列各組數(shù)字大小
①1²＜2¹②2³＜3²③3⁴＞4³
④4⁵＞5⁴⑤5⁶＞6⁵⑥6⁷＞7⁶
（2）根據(jù)上面的歸納猜想得到的結(jié)論，試比較下列兩個數(shù)的大小
2005²⁰⁰⁶＞2006²⁰⁰⁵
（3）nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n為大于2的整數(shù)）．

點評：本題考查了有理數(shù)的乘方，理解（1）中的數(shù)的底數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵．