Question

問題：你能比較兩個數2006²⁰⁰⁷與2007²⁰⁰⁶的大小嗎？為了解決問題，首先把它抽象成數學問題，寫出它的一般形式，即比較nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ的大小（n是正整數），然后，從分析n=1，n=2，n=3，…，這些簡單情形入手，從中發現規律，經過歸納，猜想出結論．
（1）通過計算，比較下列各組中兩個數的大小（填“＞”，“＜”，“=”）
①1²

＜

2¹；　②2³

＜

3²；③3⁴

＞

4³；④4⁵

＞

5⁴；⑤5⁶

＞

6⁵；　…
（2）根據上面的歸納猜想得到的一般結論，試比較下面兩個數的大小：2006²⁰⁰⁷

＞

2007²⁰⁰⁶
（3）從第（1）題的結果經過歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ的大小關系是

當n=1或2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；當n＞2的整數時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ

．

Answer 1

分析：（1）根據乘方的意義分別計算后進行判斷大小；
（2）、（3）根據（1）中的計算結果可歸納出當n=1或2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；當n＞2的整數時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ．

解答：解：（1）1²＜2¹；　②2³＜3²；③3⁴＞4³；④4⁵＞5⁴；⑤5⁶＞6⁵；　…
（2）2006²⁰⁰⁷＞2007²⁰⁰⁶；
（3）當n=1或2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；當n＞2的整數時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ．
故答案為＜，＜，＞，＞，＞；＞；當n=1或2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；當n＞2的整數時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ．

點評：本題考查了有理數大小比較：正數大于0，負數小于0；負數的絕對值越大，這個數越小．