Question

【題目】已知：點M是平行四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點（點M不與點A、C重合），分別過點A、C向直線BM作垂線，垂足分別為點E、F，點O為AC的中點．

⑴如圖1,當點M與點O重合時，OE與OF的數量關系是 ．

⑵直線BM繞點B逆時針方向旋轉，且∠OFE=30°．

①如圖2，當點M在線段AC上時，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數量關系？請你寫出來并加以證明；

②如圖3，當點M在線段AC的延長線上時，請直接寫出線段CF、AE、OE之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）OE=OF；（2）①，詳見解析；②CF=OE-AE

【解析】

（1）由△AOE≌△COF即可得出結論．
（2）①圖2中的結論為：CF=OE+AE，延長EO交CF于點N，只要證明△EOA≌△NOC，△OFN是等邊三角形，即可解決問題．
②圖3中的結論為：CF=OE-AE，延長EO交FC的延長線于點G，證明方法類似．

解：⑴∵

∴AE∥CF

∴ 又,OA=OC

∴△AOE≌△COF.

∴OE=OF．

⑵①

延長EO交CF延長線于N．

∵

∴AE∥CF

∴ 又,OA=OC

∴△OAE≌△OCN

∴AE=CN,OE=ON 又,

∴OF=ON=OE,

∴OF=FN=ON=OE,又AE=CN

∴CF=AE-OE

②CF=OE-AE,證明如下：

延長EO交FC的延長線于點G

∵

∴AE∥CF

∴∠G=∠AEO,∠OCG=∠EA0，

又∵AO=OC，

∴△OAE≌△OCG.

∴AE=CG,OG=OE.

又,

∴OF=OG=OE,

∴△OGF是等邊三角形，

∴FG=OF=OE.

∴CF=OE-AE.