Question

【題目】已知：直線與y軸交于A，與x軸交于D，拋物線y＝x2+bx+c與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標為 （1，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是直線AE上一動點，當△PBC周長最小時，求點P坐標；

（3）動點Q在x軸上移動，當△QAE是直角三角形時，求點Q的坐標；

（4）在y軸上是否存在一點M，使得點M到C點的距離與到直線AD的距離恰好相等？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（，）；（3）Q點坐標為（1，0）或（，0）；（4）存在；M點坐標為M（0，﹣8）.

【解析】

（1）求解拋物線的解析式關鍵是找點，然后將點的坐標帶入解析式即可求出解析式；已知B點的坐標，已知A點是直線與拋物線的交點且交于y軸，即可通過直線的解析式求出A點坐標，帶入A,B兩點坐標即可；（2）最值問題的關鍵是找對稱，通過C點作關于直線AE的對稱點F，再連接BF，交AE與點P，此時△PBC周長最小；再求出BF的解析式，再求出與直線AE的交點即可；（3）設出P點的坐標，然后表示出AP、EP的長，求出AE 的長，利用勾股定理得到有關P點的橫坐標的方程，求得其橫坐標即可；（4）設出M點的坐標，利用C點的距離與到直線AD的距離恰好相等，得到有關M點的縱坐標的方程解得M點的縱坐標即可。

解：（1）∵直線與y軸交于A，

∴A點的坐標為（0，2），

∵B點坐標為（1，0）．

∴ 解得：

∴；

（2）作出C關于直線AE的對稱點F，連接BF，CF分別交AE與點P,M，連接DF.過點F做FN垂直于X軸,交X軸于點N.

由題意得點C的坐標為，點D的坐標為

∵點F是點C關于直線AE的對稱點,

∴AE垂直平分CF,

∴直線AE與直線CF的解析式的k值之積為-1,可設直線CF的解析式為

將C點坐標帶入可求得CF的解析式為:

將CF和AE的解析式聯立可得 ，解得

從而求出直線AE與CF的交點M坐標為 ，

∵M點為CF中點，

所以F點的縱坐標為，即

∵△CDF為等腰三角形，∴

∴在直角三角形DFN中，由勾股定理得：

∴得

∴N點橫坐標為

∴F點的坐標為

∴直線BF的解析式為：，

，

可得：P（，）；

（3）根據題意得：，

解得：或，

∴A（0，2），E（6，5），

∴，

設Q（x，0），

①若Q為直角頂點，

則，

即，

此時x無解；

②若點A為直角頂點，

則，

即，

解得： ，

即Q（1，0）；

③若E為直角頂點，

則,

即，

解得：，

此時求得Q（ ，0）；

∴Q（1，0）或（，0）

（4）假設存在，設M坐標為（0，m），則，

∵，，，

∴，

∴當時，滿足條件，

∴在直角三角形AOD中，根據勾股定理得：，且，，

∵，

∴根據勾股定理得：，

即，

解得，

則M（0，﹣8）.