Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C（0，﹣3）頂點為D

（1）求拋物線的函數關系式；

（2）判斷△BCD的形狀，并說明理由；

（3）點P在拋物線上，點Q在直線y＝x上，是否存在點P、Q使以點P、Q、C、O為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3，頂點D的坐標為（﹣1，﹣4）；（2）△BCD為直角三角形，理由詳見解析；（3）存在，點P（﹣1，4）或（2，5）．

【解析】

（1）把點A、C坐標代入拋物線表達式，即可求解；

（2）BD=，CD=，BC=，由勾股定理的逆定理即可求解；

（3）分OC是平行四邊形的一條邊、CO是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可．

（1）把點A、C坐標代入拋物線表達式得：，解得：，

拋物線的表達式為：y＝x2+2x﹣3，

頂點D的坐標為（﹣1，﹣4）；

（2）y＝x2+2x﹣3，令y＝0，則x＝1或﹣3，故點B（﹣3，0），而C、D的坐標分別為：（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），

則BD=，CD=，BC=，

故：BD2＝CD2+BC2，

故△BCD為直角三角形；

（3）存在，理由：

①當OC是平行四邊形的一條邊時，

設：點P（m，m2+2m﹣3），點Q（m，m），

則PQ＝OC＝3，

PQ＝|m2+2m﹣3﹣m|＝3，

解得：m＝﹣1或2或0或﹣3（舍去0、﹣3），

故m＝﹣1或2；

②當CO是平行四邊形的對角線時，

設點P（m，m2+2m﹣3），點Q（n，n），

由中線定理得：，

解得：m＝0或﹣1（舍去0）；

故m＝﹣1或2，

則點P（﹣1，-4）或（2，5）．