Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，已知∠BAD＝120°，對角線BD長為12．

（1）求菱形ABCD的周長；

（2）動點P從點A出發，沿A→B的方向，以每秒1個單位的速度向點B運動；在點P出發的同時，動點Q從點D出發，沿D→C→B的方向，以每秒2個單位的速度向點B運動．設運動時間為t（s）．

①當PQ恰好被BD平分時，試求t的值；

②連接AQ，試求：在整個運動過程中，當t取怎樣的值時，△APQ恰好是一個直角三角形？

Answer 1

【答案】(1)16;(2) ①;②見解析.

【解析】

（1）連接AC交BD于O，由菱形的性質得出AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，∠BCD=∠BAD=120°，∠BCO=∠BCD=60°，OB=OD=BD=6，在Rt△BOC中，由三角函數求出BC=4，即可得出菱形ABCD的周長；
（2）①當點Q在CD邊上時，設PQ交BD于M，則PM=QM，由平行線求出BP=DQ，根據題意得：AP=t，DQ=2t，則BP=4-t，得出4-t=2t，解方程即可；
當點Q在CB邊上時，不存在；
②當點Q在CD邊上時，若∠PAQ=90°，與平行線的性質得出∠AQD=∠PAQ=90°，則∠DAQ=30°，由直角三角形的性質得出DQ=AD=2，即2t=2，求出t的值即可；
若∠APQ=90°，作AN⊥CD于N，則∠PAN=90°，NQ=AP=t，由直角三角形的性質得出DN=AD=2，得出方程2t=2+t，解方程即可；
當點Q在CB邊上時，證出∠BPQ=90°，即∠APQ=90°恒成立．得出當2≤t≤4時△APQ都為直角三角形；即可得出答案．

解：（1）連接AC交BD于O，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，∠BCD=∠BAD=120°，∠BCO=∠BCD=60°，OB=OD=BD=6，
在Rt△BOC中，BC= ，
∴菱形ABCD的周長=4×4=16；
（2）①當點Q在CD邊上時，
設PQ交BD于M，則PM=QM，
∵AB∥CD，
∴=1，
∴BP=DQ，
根據題意得：AP=t，DQ=2t，則BP=4-t，
∴4-t=2t，
解得：t=；
當點Q在CB邊上時，不存在；
②當點Q在CD邊上時，若∠PAQ=90°，如圖2所示：

∵AB∥CD，
∴∠AQD=∠PAQ=90°，
∴∠DAQ=30°，
∴DQ=AD=2，
即2t=2，
解得：t=；
若∠APQ=90°，如圖3所示：

作AN⊥CD于N，則∠PAN=90°，NQ=AP=t，
∴∠DAN=30°，
∴DN=AD=2，
∵DQ=DN+NQ，
∴2t=2+t，
解得：t=2；
當點Q在CB邊上時，如圖4所示：

根據題意得：AP=t，BP=4-t，CQ=2t-4，
∴BQ=4-（2t-4）=8-2t，
∴BP=BQ，
作QH⊥BP于H，
∵∠ABC=60°，
∴∠BQH=30°，
∴BH=BQ=4-t，
∴BP=BH，即H與P重合，
∴∠BPQ=90°，
即∠APQ=90°恒成立．
∴當2≤t≤4時△APQ都為直角三角形．
綜上可得，當t=或2≤t≤4時，△APQ恰好為直角三角形．