Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，過O點作OP⊥AB，交弦AC于點D，交⊙O于點E，且使PC是⊙O的切線．

（1）求證：∠PCA＝∠ABC；

（2）若∠P＝60°，PC＝4，求PE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）8﹣4．

【解析】

（1）連接OC，根據圓周角定理的推論求出∠ACB＝90，根據切線的性質得出∠OCP＝90°，然后根據角度之間的轉化可得出結果；

（2）先求出∠POC=30°，在Rt△OCP中，根據含30°的直角三角形的性質以及勾股定理可求得OP，OC的長，然后根據PE=OP-OE即可得出答案．

（1）證明：連接OC，

∵PC是⊙O的切線，

∴OC⊥PC，

∴∠OCP＝90°，

∴∠OCA+∠PCA＝90°，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ABC+∠A＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠A，

∴∠PCA＝∠ABC；

（2）解：∵在Rt△OCP中，∠OCP＝90°，∠P＝60°，

∴∠POC＝30°，

∵PC＝4，

∴PO＝2PC＝8，

由勾股定理得：OC＝＝4＝OE，

∴PE＝PO﹣OE＝8﹣4．