Question

【題目】已知：如圖①所示，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且點B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點．

（1）求證：①BE＝CD；②△AMN是等腰三角形；

（2）在圖①的基礎上，將△ADE繞點A按順時針方向旋轉180°，其他條件不變，得到圖②所示的圖形．請直接寫出（1）中的兩個結論是否仍然成立；

（3）在（2）的條件下，請你在圖②中延長ED交線段BC于點P．求證：△PBD∽△AMN．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）成立，理由見解析；（3）證明見解析

【解析】

（1）因為∠BAC＝∠DAE，所以∠BAE＝∠CAD，又因為AB＝AC，AD＝AE，利用SAS可證出△BAE≌△CAD，可知BE、CD是對應邊，根據全等三角形對應邊上的中線相等，可證△AMN是等腰三角形．

（2）利用（1）中的證明方法仍然可以得出（1）中的結論，思路不變．

（3）先證出△ABM≌△ACN（SAS），可得出∠CAN＝∠BAM，所以∠BAC＝∠MAN（等角加等角和相等），又∵∠BAC＝∠DAE，所以∠MAN＝∠DAE＝∠BAC，所以△AMN，△ADE和△ABC都是頂角相等的等腰三角形，所以∠PBD＝∠AMN，所以△PBD∽△AMN（兩個角對應相等，兩三角形相似）．

（1）證明：①∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAE＝∠CAD，

在△ABE和△ACD中，

∴△ABE≌△ACD，

∴BE＝CD．

②由△ABE≌△ACD，得

∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，

∵M、N分別是BE，CD的中點，

∴BM＝CN，

在△ABM和△ACN中，

∴△ABM≌△ACN．

∴AM＝AN，即△AMN為等腰三角形．

（2）解：（1）中的兩個結論仍然成立．

理由：①∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAE＝∠CAD，

在△ABE和△ACD中，

∴△ABE≌△ACD，

∴BE＝CD．

②由△ABE≌△ACD，得

∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，

∵M、N分別是BE，CD的中點，

∴BM＝CN，

在△ABM和△ACN中，

∴△ABM≌△ACN．

∴AM＝AN，即△AMN為等腰三角形．

（3）證明：由（1）同理可證△ABM≌△ACN，

∴∠CAN＝∠BAM，

∴∠BAC＝∠MAN．

又∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠MAN＝∠DAE＝∠BAC．

∴△AMN，△ADE和△ABC都是頂角相等的等腰三角形．

∵∠PBD＝∠ABC，∠PDB＝∠ADE，

又∵∠ADE＝∠ABC，

∴△PBD和△AMN都為頂角相等的等腰三角形，

∴∠PBD＝∠AMN，∠PDB＝∠ANM，

∴△PBD∽△AMN．