Question

【題目】已知二次函數y＝﹣x2+2bx+c的圖象經過點M（1，0），頂點坐標（m，n）

（1）當x＜5時，y隨x的增大而增大，求b的取值范圍；

（2）求n關于m的函數解析式；

（3）求該二次函數的圖象頂點最低時的解析式．

Answer 1

【答案】（1）b≥5；（2）n＝m2﹣2m+1；（3）y＝﹣x2+2x﹣1．

【解析】

（1）由二次函數y＝﹣x2+2bx+c可知開口向下，求出對稱軸為x＝b，進而求得b的取值范圍.

（2）由圖象經過點M（1，0），可將M點坐標代入求出c＝1﹣2b，進而利用頂點坐標公式即可求值.

（3）由n＝（m﹣1）2，可求得最低點（1，0），進而代入求得函數解析式.

解：（1）由二次函數y＝﹣x2+2bx+c可知開口向下，對稱軸為直線x＝b，

∵當x＜5時，y隨x的增大而增大，

∴b≥5；

（2）∵二次函數y＝﹣x2+2bx+c的圖象經過點M（1，0），

∴﹣1+2b+c＝0，

∴c＝1﹣2b，

∵m＝b，n＝＝c+b2＝1﹣2b+b2，

∴n＝m2﹣2m+1；

（3）∵n＝（m﹣1）2，

∴頂點有最低點（1，0），

∵a＝﹣1，

∴二次函數的解析式為y＝﹣（x﹣1）2＝﹣x2+2x﹣1．