Question

【題目】如圖1，已知拋物線的頂點坐標為（0，1）且經過點A（1，2），直線y＝3x﹣4經過點B（，n），與y軸交點為C．

（1）求拋物線的解析式及n的值；

（2）將直線BC繞原點O逆時針旋轉45°，求旋轉后的直線的解析式；

（3）如圖2將拋物線繞原點O順時針旋轉45°得到新曲線，新曲線與直線BC交于點M、N，點M在點N的上方，求點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+1，n＝2；（2）y＝﹣2x+4；（3）N（，）．

【解析】

（1）拋物線的表達式為：y＝ax2+1，將點A坐標代入上式得：2＝a+1，即可求解；

（2）點B圍繞點O逆時針旋轉45°，落在y軸上，設為點B′（0，4），同理點C（0，﹣4）圍繞點O逆時針旋轉45°，設旋轉后該點對應點C′（4，﹣4），即可求解；

（3）在圖2中，作直線y＝﹣2x+4交拋物線于點N′，則拋物線和直線y＝﹣2x+4繞原點O順時針旋轉45°得到新曲線和直線線y＝3x﹣4，由ON＝ON′，即可求解．

解：（1）拋物線的表達式為：y＝ax2+1，

將點A坐標代入上式得：2＝a+1，解得：a＝1，

故拋物線的表達式為：y＝x2+1，

n＝3×2﹣4＝2；

（2）∵點B的橫坐標和縱坐標相同，BO＝4，

故點B圍繞點O逆時針旋轉45°，落在y軸上，設為點B′（0，4），

同理點C（0，﹣4）圍繞點O逆時針旋轉45°，設旋轉后該點對應點C′（4，﹣4），

將BC坐標代入一次函數表達式：y＝mx+n得：，解得：，

故旋轉后直線的表達式為：y＝﹣2x+4；

（3）在圖2中，作直線y＝﹣2x+4交拋物線于點N′，

則拋物線和直線y＝﹣2x+4繞原點O順時針旋轉45°得到新曲線和直線線y＝3x﹣4，

聯立y＝x2+1與y＝﹣2x+4并解得：x＝1或﹣3（舍去﹣3），故點N′（1，2），

設點N（m，3m﹣4），

由題意得：ON＝ON′，

即：，解得：m＝（不合題意值已舍去），

故點N′（，）．