Question

【題目】如圖所示，四邊形內接于⊙，是⊙的直徑,過點的切線與的延長線相交于點．且，連接.

（1）求證：；

（2）過點作，垂足為，當時，求⊙的半徑；

（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）半徑；（3）

【解析】

（1）作DF⊥BC于F，根據切線的性質得到∠PAC＝90°，根據圓周角定理得到∠ADC＝90°，得到∠DBC＝∠DCB，得到DB＝DC；

（2）根據垂徑定理求出FC，證明△DEC≌△CFD，根據全等三角形的性質得到DE＝FC＝，根據tan∠DAE＝＝，求得∠DAE＝60°，從而可證得△AOD是等邊三角形，則⊙O的半徑OD＝AD＝2．

（3）根據△AOD是等邊三角形得∠AOD＝60°，再根據陰影部分的面積＝扇形AOD的面積﹣△AOD的面積計算即可．

（1）證明：是⊙的切線，

，即，

是⊙的直徑，

，即，

，

，

，

；

（2）解：如圖，作于，連接

是的垂直平分線，

經過點

在和中，

在△AED中，DE＝，AE＝1，

則tan∠DAE＝＝，

∴∠DAE＝60°．

又∵OD＝OA，

∴△AOD是等邊三角形，

∴⊙O的半徑OD＝AD＝2．

（3）解：∵△AOD是等邊三角形，

∴∠AOD＝60°．

∴