Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，D是的中點，E為OD延長線上一點，且∠CAE＝2∠C，AC與BD交于點H，與OE交于點F．

（1）求證：AE是⊙O的切線；

（2）若DH＝9，tanC＝，求直徑AB的長．

Answer 1

【答案】（1）AE是O的切線.

（2）AB=20.

【解析】

（1）根據題意可知OA=OC，然后根據三線合一，可得OE⊥AC，最后根據圓周角定理，進而作出證明即可.

（2）根據銳角三角函數，求出HF的長，然后根據相似三角形的判定，證明△DFH∽△CFD，接著根據相似三角形的性質，可求出AF、CF的長，進而用勾股定理即可求解.

（1）連接OC

∵D是 的中點，

∴∠AOD=∠COD

∵OA=OC

∴OE⊥AC

∴∠AFE=90°

∴∠E+∠EAF=90°

∵∠AOE=2∠C，∠CAE=2∠C

∴∠CAE=∠AOE

∴∠E+∠AOE=90°

∴∠EAO=90°

∴AE是O的切線.

（2）∵∠C=∠B

∵OD=OB

∴∠B=∠ODB

∴∠ODB=∠C

∴sinC=sin∠ODB=

∴HF=

由勾股定理得：DF=

∵∠C=∠FDH，∠DFH=∠CFD

∴△DFH∽△CFD

∴

∴CF=

∴AF=CF=

設OA=OD=x

∴OF=x-

∵AF2+OF2=OA2

∴

解得x=10

∴OA=10

∴AB=20.