Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，以AD為直徑的⊙O與BC相切于點E，交CD于點F，連接DE．

（1）證明：DE平分∠ADC；

（2）已知AD＝4，設CD的長為x（2＜x＜4）．

①當x＝2.5時，求弦DE的長度；

②當x為何值時，DFFC的值最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②x＝3時，DFCF的值最大，最大值為2

【解析】

（1）連接OE，根據已知可推出AB∥OE∥CD，可得∠OED＝∠CDE，再根據OD＝OE，可得∠OED＝∠ODE，即可證明；

（2）①連接AF交OE于H，由現有條件可推出AB＝1.5，然后可證四邊形ABCF是矩形，可得AH＝FH，AB＝CF＝HE＝1.5，OH＝OE﹣EH＝0.5，可得AH＝==，根據勾股定理即可得出答案；

②設AB＝CF＝m，根據OE＝（AB+CD），可得x+m＝4，即可得DFCF的函數表達式，根據函數的性質即可得出答案．

（1）證明：如圖，連接OE，

∵BC是⊙O的切線，

∴OE⊥BC，

∵AB∥CD，∠C＝90°，

∴∠B＝90°，

∴AB⊥BC，CD⊥BC，

∴AB∥OE∥CD，

∴∠OED＝∠CDE，

∵OD＝OE，

∴∠OED＝∠ODE，

∴∠ODE＝∠CDE，

∴ED平分∠ADC；

（2）①連接AF交OE于H，

∵AB∥OE∥CD，AO＝OD，

∴BE＝EC，

∴OE＝（AB+CD），

∵OE＝2，CD＝2.5，

∴AB＝1.5，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠AFD＝90°，

∵∠B＝∠C＝9°，

∴四邊形ABCF是矩形，

∴AF∥BC，

∵OE⊥BC，

∴OE⊥AF，

∴AH＝FH，AB＝CF＝HE＝1.5，

∴OH＝OE﹣EH＝0.5，

∴AH＝==，

∴AH＝FH＝CE＝，

∴DE＝＝＝；

②設AB＝CF＝m，

∵OE＝（AB+CD），

∴x+m＝4，

∴m＝4﹣x，

∴DFCF＝（（4﹣x）（2x﹣4）＝﹣2x2+12x﹣16＝﹣2（x﹣3）2+2，

∵﹣2＜0，

∴x＝3時，DFCF的值最大，最大值為2．