Question

【題目】如圖，在中，動點從點出發，在邊上以每秒的速度向點勻速運動，同時動點從點出發，在邊上以每秒的速度向點勻速運動，運動時間為秒，連接．若以為直徑的與的邊相切，則的值為_______．

Answer 1

【答案】或或

【解析】

分當⊙O與BC相切、⊙O與AB相切，⊙O與AC相切時，三種情況分類討論即可得出結論．

解：設運動時間為t秒（0<t<2），則BM=5t，CN=4t，BN=8-4t，

在直角三角形ABC中，由勾股定理，得AB==10.

當為直徑的與的邊AB相切時，∠BMN=90°=∠C，又因為∠B=∠B，所以△BMN∽△BCA，∴=，解得t=；當為直徑的與的邊BC相切, ∠BNM=90°=∠C，又因為∠B=∠B，所以△BMN∽△BAC，所以=，解得t=1;當為直徑的與的邊AC相切,如圖,過點O作OH⊥AC于點H，交PM于點Q，

OH=OQ+QH=PM+PC=（8t-8）+（8-4t）=4，
∴MN=2OH=8，
∴73t2-128t+64=64
解得t1=0，t2=.

故t的值為或或.