Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，且AB＝AC.延長BC到點D，使CD＝CA，連接AD交⊙O于點E.

（1）求證：△ABE≌△CDE；

（2）填空：

①當∠ABC的度數為 時，四邊形AOCE是菱形；

②若AE＝6，BE=8，則EF的長為 .

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）①60②

【解析】分析：（1）根據AAS證明兩三角形全等；

（2）①先證明∠AOC=∠AEC=120°，∠OAE=∠OCE=60°，可得AOCE，由OA=OC可得結論；

②根據（1）中的全等得：BE=DE=8，AE=CE=6，證明△ECD∽△CFB，列式可得：=，證明△AEF∽△BCF，則可得EF的長．

詳解：（1）證明：∵AB=AC，CD=CA，∴∠ABC=∠ACB，AB=CD．

∵四邊形ABCE是圓內接四邊形，∴∠ECD=∠BAE，∠CED=∠ABC．

∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，∴∠CED=∠AEB，∴△ABE≌△CDE（AAS）；

（2）①當∠ABC的度數為60°時，四邊形AOCE是菱形；

理由是：連接AO、OC．

∵四邊形ABCE是圓內接四邊形，∴∠ABC+∠AEC=180°．

∵∠ABC=60，∴∠AEC=120°=∠AOC．

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°．

∵AB=AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°．

∵∠ACB=∠CAD+∠D．

∵AC=CD，∴∠CAD=∠D=30°，∴∠ACE=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠OAE=∠OCE=60°，∴四邊形AOCE是平行四邊形．

∵OA=OC，∴AOCE是菱形；

②由（1）得：△ABE≌△CDE，∴BE=DE=8，AE=CE=6，∴∠D=∠EBC．

∵∠CED=∠ABC=∠ACB，∴△ECD∽△CFB，∴=．

∵∠AFE=∠BFC，∠AEB=∠FCB，∴△AEF∽△BCF，∴=，∴EF==．

故答案為：①60°；②．