Question

【題目】定義：在平面直角坐標系xOy中，直線y＝a（x﹣m）+k稱為拋物線y＝a（x﹣m）2+k的關聯直線．

（1）求拋物線y＝x2+6x﹣1的關聯直線；

（2）已知拋物線y＝ax2+bx+c與它的關聯直線y＝2x+3都經過y軸上同一點，求這條拋物線的表達式；

（3）如圖，頂點在第一象限的拋物線y＝﹣a（x﹣1）2+4a與它的關聯直線交于點A，B（點A在點B的左側），與x軸負半軸交于點C，連結AC、BC．當△ABC為直角三角形時，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+3﹣10＝x﹣7；（2）y＝2x2+3或y＝2（x+1）2+1；（3）a=1或a=.

【解析】

（1）先將拋物線的解析式化為頂點式，然后根據關聯直線的定義即可得出答案；

（2）由題意可得a=2，c=3，設拋物線的頂點式為y=2（x-m）2+k，可得，可求m和k的值，即可求這條拋物線的表達式；

（3）由題意可得A（1，4a），B（2，3a），C（-1，0），可求AB2=1+a2，BC2=9+9a2，AC2=4+16a2，分BC，AC為斜邊兩種情況討論，根據勾股定理可求a的值．

解：（1）∵y＝x2+6x﹣1＝（x+3）2﹣10，

∴關聯直線為y＝x+3﹣10＝x﹣7；

（2）∵拋物線y＝ax2+bx+c與它的關聯直線y＝2x+3都經過y軸上同一點，

∴a＝2，c＝3，

可設拋物線的頂點式為y＝2（x﹣m）2+k，

則其關聯直線為y＝2（x﹣m）+k＝2x﹣2m+k，

∴，

解得或，

∴拋物線解析式為y＝2x2+3或y＝2（x+1）2+1；

（3）由題意：A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），

∴AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，

顯然AB2＜BC2 且AB2＜AC2，故AB不能成為△ABC的斜邊，

當AB2+BC2＝AC2時：1+a2+9+9a2＝4+16a2解得a＝±1，

當AB2+AC2＝BC2時：1+a2+4+16a2＝9+9a2解得a=，

∵拋物線的頂點在第一象限，

∴a＞0，即a=1或a=.