Question

【題目】如圖1，點E為△ABC邊AB上的一點，⊙O為△BCE的外接圓，點D為上任意一點．若AE=AC=2n，BC=n2－1，BE=n2－2n+1 ．(n≥2，且n為正整數) ．

（1）求證：∠CAE+∠CDE=90°；

（2）①如圖2，當CD過圓心O時，①將△ACD繞點A順時針旋轉得△AEF，連接DF，請補全圖形，猜想CD、DE、DF之間的數量關系，并證明你的猜想；②若n=3，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①補全圖形見解析；，證明見解析；②

【解析】

（1）先計算AB的長，再根據勾股定理的逆定理判定，然后根據直角三角形的性質和圓周角定理的推論即可證得結論；

（2）①根據題意即可補全圖形，如圖3，由旋轉的性質得：，然后根據（1）的結論、四邊形的內角和和周角的定義即可推出，再根據勾股定理和等量代換即可得出結論；

②如圖4，過點作于，先根據△ABC的面積求出CH的長，再根據勾股定理和線段的和差關系求出AH和HE的長，進而可求出CE的長，由可得其正弦相等，進而可求出CD的長，然后由①的結論可求出DF的長，又易證，然后根據相似三角形的性質即可求出AD的長．

（1）證明：，

，

，，

，

，

，

，

，

即；

（2）解：①補全圖形如圖3所示；

CD、DE、DF之間的數量關系是：，理由如下：

如圖 3，由旋轉的性質得：，

由（1）得：，

，

，

，

，

，

；

②當時，，

如圖4，過點作，垂足為，

則由△ABC的面積可得：，

，

，

∵CD是直徑，∴∠CED=90°，

，，

，

，即：，解得，

∴，

，

，，

，

，

．