Question

【題目】如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AB﹣BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在AB上以每秒5個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，在BC上以每秒3個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向以每秒 個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P停止時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）求線段AQ的長；（用含t的代數(shù)式表示）
（2）連結(jié)PQ，當(dāng)PQ與△ABC的一邊平行時(shí)，求t的值；
（3）如圖②，過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，以PE，EQ為鄰邊作矩形PEQF，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，連結(jié)DF．設(shè)矩形PEQF與△ABC重疊部分圖形的面積為S．①當(dāng)點(diǎn)Q在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；②直接寫出DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，BC=6，

∴AC= = =8，

∵CQ= t，

∴AQ=8﹣ t（0≤t≤4）．

（2）解：①當(dāng)PQ∥BC時(shí)， = ，

∴ = ，

∴t= s．

②當(dāng)PQ∥AB時(shí)， = ，

∴ = ，

∴t=3，

綜上所述，t= s或3s時(shí)，當(dāng)PQ與△ABC的一邊平行．

（3）解：①如圖1中，a、當(dāng)0≤t≤ 時(shí)，重疊部分是四邊形PEQF．

S=PEEQ=3t（8﹣4t﹣ t）=﹣16t2+24t．

b、如圖2中，當(dāng) ＜t≤2時(shí)，重疊部分是四邊形PNQE．

S=S四邊形PEQF﹣S△PFN=（16t2﹣24t）﹣ [5t﹣ （8﹣ t）] [5t﹣ （8﹣ t）]= ．

c、如圖3中，當(dāng)2＜t≤3時(shí)，重疊部分是五邊形MNPBQ．

S=S四邊形PBQF﹣S△FNM= t[6﹣3（t﹣2）]﹣ [ t﹣4（t﹣2）] [ t﹣4（t﹣2）]=﹣ t2+32t﹣24．

②a、如圖4中，當(dāng)DE：DQ=1：2時(shí)，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．

則有（4﹣4t）：（4﹣ t）=1：2，解得t= s，

b、如圖5中，當(dāng)NE：PN=1：2時(shí)，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．

∴DE：DQ=NE：FQ=1：3，

∴（4t﹣4）：（4﹣ t）=1：3，

解得t= s，

綜上所述，當(dāng)t= s或 s時(shí)，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．

【解析】（1）由線段之差可表示出AQ=8﹣ t;（2）由于點(diǎn)Q在AC上，PQ不會(huì)與AC平行，因此分類討論P(yáng)Q∥BC與PQ∥AB兩類；（2）以t=2和為分界點(diǎn)分為三段：0≤t≤ 、 ＜t≤2、2＜t≤3；（3）需分類為兩種：左上：右下=1：2和左上：右下=2：1.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)關(guān)系式，需要了解用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式才能得出正確答案．