Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD邊長為1，，，則有下列結論：①；②點C到EF的距離是2-1；③的周長為2；④，其中正確的結論有（ ）

A.4個B.3個C.2個D.1個

Answer 1

【答案】C

【解析】

先證明Rt△ABE≌Rt△ADF得到∠1=∠2，易得∠1=∠2=∠22.5°，于是可對①進行判斷；連接EF、AC，它們相交于點H，如圖，利用Rt△ABE≌Rt△ADF得到BE=DF，則CE=CF，接著判斷AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，于是利用角平分線的性質定理得到EB=EH，FD=FH，則可對③④進行判斷；設BE=x，則EF=2x，CE=1-x，利用等腰直角三角形的性質得到2x=（1-x），解方程，則可對②進行判斷．

解：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠D=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠1=∠2，
∵∠EAF=45°，
∴∠1=∠2=∠22.5°，所以①正確；
連接EF、AC，它們相交于點H，如圖，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，
而BC=DC，
∴CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，
∴EB=EH，FD=FH，
∴BE+DF=EH+HF=EF，所以④錯誤；
∴△ECF的周長=CE+CF+EF=CE+BE+CF+DF=CB+CD=1+1=2，所以③正確；
設BE=x，則EF=2x，CE=1-x，
∵△CEF為等腰直角三角形，
∴EF=CE，即2x=（1-x），解得x=-1，
∴BE=-1，
Rt△ECF中，EH=FH，
∴CH=EF=EH=BE=-1，
∵CH⊥EF，
∴點C到EF的距離是-1，
所以②錯誤；
本題正確的有：①③；
故選：C．