Question

【題目】點A、B在數軸上分別表示數a、b，A、B之間的距離可表示為AB＝|a﹣b|．已知數軸上A，B兩點分別表示有理數﹣1和x．

（1）若AB＝4時，則x的值為　 ；

（2）當x＝7時，點A，B分別以每秒1個單位長度和2個單位長度的速度同時向數軸負方向運動．求經過多少秒后，點A到原點的距離是點B到原點的距離的2倍；

（3）如圖，點A，B，C，D四點在數軸上分別表示的數為﹣4，﹣1，2，6．是否存在點P在數軸上，使得點P到這四點的距離總和的最小？若存在，請直接寫點P的位置和距離總和的最小值．若不存在，請說明理由；

（4）某一直線沿街有2020戶民，假定相鄰兩戶居民間隔相同，分別記為a1，a2，a3，a4，a5，…，a2020．某餐飲公司想為這2020戶居民提供早餐，決定在路旁建立一個快餐店P．請問點P選在何處，才能使這2020戶居民到點P的距離總和最小？試說明原因．

Answer 1

【答案】（1）3或﹣5；（2）經過秒或5秒后，點A到原點的距離是點B到原點的距離的2倍；（3）點P在B與C之間時，點P到這四點的距離總和的最小，其最小值為13；（4）點P選在a1020與a1011之間，才能使這2020戶居民到點P的距離總和最小，理由見解析．

【解析】

（1）根據距離公式AB＝|a﹣b|，分點B在點A左、右兩側兩種情況解答即可；
（2）設經過t秒后，點A到原點的距離是點B到原點的距離的2倍，則A點表示的數為（﹣1﹣t），B點表示的數為（7﹣t），然后分點B在原點左右兩邊，列方程可求得結果；
（3）設P點表示的數為x，分別求出當x＜﹣4時，當﹣4≤x＜﹣1時，當﹣1≤x＜2時，當2≤x＜6時，當x≥6時，點P到這四點的距離總和，然后比較求出最小值即可；
（4）根據兩點之間的距離，先分析有2戶居民點P的位置，有3戶居民點P的位置，有4戶居民點P的位置，…，最后根據規律可得出有2020戶居民點P的位置即可得到結論．

解：（1）∵AB＝4，數軸上A，B兩點分別表示有理數﹣1和x，

∴當B點在A點右邊時，x＝﹣1+4＝3，

當B點在A點左邊時，x＝﹣1﹣4＝﹣5，

故答案為：3或﹣5；

（2）設經過t秒后，點A到原點的距離是點B到原點的距離的2倍，則A點表示的數為（﹣1﹣t），B點表示的數為（7﹣t），

①當B點在原點右邊時，有OA＝|﹣1﹣t|＝t+1，OB＝|7﹣2t|＝7﹣2t，則

t+1＝2（7﹣2t），

解得，t＝，

②當B點在原點左邊時，有OA＝|﹣1﹣t|＝t+1，OB＝|7﹣2t|＝2t﹣7，則

t+1＝2（2t﹣7），

解得，t＝5，

綜上，t＝或5．

答：經過秒或5秒后，點A到原點的距離是點B到原點的距離的2倍；

（3）設P點表示的數為x，則

當x＜﹣4時，距離之和為﹣4﹣x﹣1﹣x+2﹣x+6﹣x＝3﹣4x＞19，

當﹣4≤x＜﹣1時，距離為x+4﹣1﹣x+2﹣x+6﹣x＝11﹣2x＞13，

當﹣1≤x＜2時，距離為x+4+x+1+2﹣x+6﹣x＝13，

當2≤x＜6時，時，距離為x+4+x+1+x﹣2+6﹣x＝9+2x≥13，

當x≥6時，時，距離為x+4+x+1+x﹣2+x﹣6＝4x﹣3≥19，

∴當﹣1≤x≤2時，點P到這四點的距離總和的最小，其最小值為13，

即點P在B與C之間時，點P到這四點的距離總和的最小，其最小值為13；

（4）點P選在a1020與a1011之間，才能使這2020戶居民到點P的距離總和最小．

理由：若只有a1、a2居民戶，P建在a1與a2之間任何一點位置時，2戶居民到點P的距離和都為a1與a2間的距離，比建在a1與a2之外小；

若有a1，a2，a3三居民戶，P建在a3處時，3戶居民到點P的距離和最小，

若有a1，a2，a3，a4四居民戶，P建在a2與a3之間任何一點位置時，4戶居民到點P的距離和最小，

∴若有a1，a2，a3，a4，a5，…，a20202020戶，P建在a1010與a1011之間任何一點位置時，才能使這2020戶居民到點P的距離總和最小．