Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A，頂點D的坐標分別為A（﹣1，0），D（1，m）．

（1）當OB=OC時，直接寫出拋物線的解析式；

（2）直線CD必經過某一定點，請你分析理由并求出該定點坐標；

（3）點P為直線CD上一點，當以點P，A，B為頂點的三角形是等腰直角三角形時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）直線CD必經過定點（﹣3，0）；（3）以點P，A，B為頂點的三角形是等腰直角三角形時，m的值為2或或8．

【解析】

（1）由點A，頂點D的坐標分別為A（﹣1，0），D（1，m），可得B點坐標，又OB=OC，可得拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）由拋物線頂點D的坐標分別為（1，m），可得b=﹣2a，由A（﹣1，0）在拋物線上，可得c=﹣3a，可得直線CD的解析式為y=﹣ax﹣3a=﹣a（x+3），可得答案；

(3)分 ∠PAB=90°、∠PBA=90°、∠APB=90°三種情況討論可得m的值.

（1）點A，頂點D的坐標分別為A（﹣1，0），D（1，m），

∴B（3，0），

∴OB=3，

∵OB=OC，

∴C（0，3），

設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），∴a×1×（﹣3）=3，

∴a=﹣1，

∴拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；

（2）∵拋物線頂點D的坐標分別為（1，m），

∴﹣=1，

∴b=﹣2a，

∴拋物線的解析式為y=ax2﹣2ax+c，

∵A（﹣1，0）在拋物線上，

∴a+2a+c=0，

∴c=﹣3a，

∴拋物線的解析式為y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，

∴m=﹣4a，

∴D（1，﹣4a），C（0，﹣3a），

∴直線CD的解析式為y=﹣ax﹣3a=﹣a（x+3），

令x+3=0，

即：x=﹣3時，y=0，

∴直線CD必經過定點（﹣3，0）；

（3）A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB=4，

當∠PAB=90°時，PA=AB，

∵P（﹣1，﹣2a），

∴PA=﹣2a，

∴﹣2a=4，

∴a=﹣2，

∴m=﹣4a=8

當∠PBA=90°時，PB=AB，

∵P（3，﹣6a），∴PB=﹣6a，

∴﹣6a=4，

∴a=﹣，

∴m=﹣4a=，

當∠APB=90°時，PA=PB，

∵P（1，﹣4a），

∴m=﹣4a=AB=2，

即：以點P，A，B為頂點的三角形是等腰直角三角形時，m的值為2或或8．