Question

【題目】拋物線y=x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3與x軸交于A、B兩點（A在B左側），與y軸交于點C．

（1）如圖1，當t=0時，連接AC、BC，求△ABC的面積；

（2）如圖2，在（1）的條件下，若點P為在第四象限的拋物線上的一點，且∠PCB+∠CAB=135°，求P點坐標；

（3）如圖3，當﹣1＜t＜3時，若Q是拋物線上A、C之間的一點（不與A、C重合），直線QA、QB分別交y軸于D、E兩點．在Q點運動過程中，是否存在固定的t值，使得CE=2CD．若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）6．（2）（，﹣）．（3）t=．

【解析】

（1）代入t=0可得出拋物線的解析式，利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點A，B，C的坐標，再利用三角形的面積公式即可求出△ABC的面積；
（2）由點B，C的坐標可得出∠ABC=45°，利用三角形內角和定理可得出∠ACB+∠CAB=135°，結合∠PCB+∠CAB=135°可得出∠ACB=∠PCB，過B作BM∥y軸，交CP延長線于M，由平行線的性質可得出∠ABC=∠MBC，結合BC=BC即可證出△ABC≌△MBC（ASA），利用全等三角形的性質可得出AB=MB=4，進而可得出點M的坐標，根據點C，M的坐標，利用待定系數法可求出直線CM的解析式，再聯立直線CM及拋物線的解析式成方程組，通過解方程組可求出點P的坐標；
（3）利用二次函數圖象上點的坐標特征及因式分解法解一元二次方程，可求出點A，B，C的坐標，設直線AQ的解析式為：y=k1x+b1，直線BQ的解析式為：y=k1x+b2，則CD=（t2-2t-3）-b1，CE=b2-（t2-2t-3），將直線解析式代入拋物線解析式中可得出關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系可得出xAxQ=t2-2t-3-b1①，xBxQ=t2-2t-3-b2②，利用②÷①結合CE=2CD，即可得出關于t的方程，解之即可得出結論．

解：（1）將t=0代入拋物線解析式得：y=x2﹣2x﹣3．

當x=0時，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，

∴點C的坐標為（0，﹣3）；

當y=0時，有x2﹣2x﹣3=0，

解得：x1=3，x2=﹣1，

∴點B的坐標為（3，0），點A的坐標為（﹣1，0）．

∴S△ABC= ABOC=×[3﹣（﹣1）]×3=6．

（2）由（1）知：B（3，0），C（0，﹣3），

∴OB=OC，

∴∠ABC=45°，

∴∠ACB+∠CAB=135°．

又∵∠PCB+∠CAB=135°，

∴∠ACB=∠PCB．

在圖2中，過B作BM∥y軸，交CP延長線于M．

∴∠ABC=∠MBC．

在△ABC和△MBC中，，

∴△ABC≌△MBC（ASA），

∴AB=MB=4，

∴點M的坐標為（3，﹣4），

∴直線CM解析式為：y=﹣x﹣3（利用待定系數法可求出該解析式）．

聯立直線CM及拋物線的解析式成方程組，得：，

解得：（舍去），，

∴點P的坐標為（，﹣）．

（3）當y=0時，有x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3=0，即[x+（ t﹣3）][x+（ t+1）]=0，

解得：x1=﹣t+3，x2=﹣t﹣1，

∴點A的坐標為（﹣t﹣1，0），點B的坐標為（﹣t+3，0）．

當x=0時，y=x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3=t2﹣2t﹣3，

∴點C的坐標為（0，t2﹣2t﹣3）．

設直線AQ的解析式為：y=k1x+b1，直線BQ的解析式為：y=k1x+b2．

∴點D的坐標為（0，b1），點E的坐標為（0，b2），

∴CD=（t2﹣2t﹣3）﹣b1，CE=b2﹣（t2﹣2t﹣3）．

∵y=k1x+b1，y=x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3，

∴x2+（2t﹣2﹣k1）x+t2﹣2t﹣3﹣b1=0，

∴xAxQ=t2﹣2t﹣3﹣b1①．

同理：xBxQ=t2﹣2t﹣3﹣b2②．

由②÷①，得： ==﹣，

∴=﹣=2，

∴=﹣2，

∴t= ．