Question

【題目】如圖1，已知正比例函數和反比例函數的圖象都經過點M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）為雙曲線上的一點，Q為坐標平面上一動點，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B．

（1）寫出正比例函數和反比例函數的關系式；

（2）當點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得△OBQ與△OAP面積相等？如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由；

（3）如圖2，當點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x，；（2）存在，Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；（3）2+4

【解析】

（1）正比例函數和反比例函數的圖象都經過點M（-2，-1），待定系數法可求它們解析式；
（2）由點Q在y＝x上，設出Q點坐標，表示△OBQ，由反比例函數圖象性質，可知△OAP面積為1，則根據面積相等可構造方程，問題可解；

（3）因為四邊形OPCQ是平行四邊形，所以OP=CQ，OQ=PC，而點P（-1，-2）是定點，所以OP的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值．

解：（1）設正比例函數解析式為y＝kx，

將點M（﹣2，﹣1）坐標代入得k＝，所以正比例函數解析式為y＝x，

同樣可得，反比例函數解析式為；

（2）當點Q在直線OM上運動時，

設點Q的坐標為Q（m，m），

于是S△OBQ＝OBBQ＝×m×m＝m2，

而S△OAP＝|（﹣1）×（﹣2）|＝1，

所以有，m2＝1，解得m＝±2，

所以點Q的坐標為Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；

（3）因為四邊形OPCQ是平行四邊形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，

而點P（﹣1，﹣2）是定點，所以OP的長也是定長，

所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值，

因為點Q在第一象限中雙曲線上，所以可設點Q的坐標為Q（n，），

由勾股定理可得OQ2＝n2+＝（n﹣）2+4，

所以當（n﹣）2＝0即n＝0時，OQ2有最小值4，

又因為OQ為正值，所以OQ與OQ2同時取得最小值，

所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP＝，

所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是2（OP+OQ）＝2（+2）＝2+4．

（或因為反比例函數是關于y＝x對稱，所以當Q在反比例函數時候，OQ最短的時候，就是反比例與y＝x的交點時候，聯立方程組即可得到點Q坐標）