Question

【題目】如圖，在矩形中，，，，分別是邊、上任意點.以線段為邊，在上方作等邊，取邊的中點，連接，則的最小值是_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

先證明點F、B、E、H四點共圓，進而可得∠FBH=∠FEH=60°，再根據，求得tan∠ABD=，進而可得∠ABD=60°，由此可得點B、H、D在同一直線上，則當CH⊥BD時，CH取得最小值，最后根據等積法求得CH的最小值即可．

解：如圖，連接FH，BH，BD，

∵在矩形ABCD中，

∴∠FBE=∠A=∠BCD=90°，，，

∴在Rt△BCD中，，

∵在等邊中，點H為EG的中點，

∴FH⊥GE，∠FEH=60°，

∴∠FHE=90°，

又∵∠FBE=90°，

∴點F、B、E、H四點共圓，

∴∠FBH=∠FEH=60°，

∵在Rt△ABD中，，，

∴tan∠ABD=，

∴∠ABD=60°，

∴點B、H、D在同一直線上，

∴當CH⊥BD時，CH取得最小值，

若CH⊥BD，則

∴，

∴CH的最小值為，

故答案為：