Question

【題目】請回答下列問題：
（1）敘述三角形中位線定理，并運用平行四邊形的知識證明；
（2）運用三角形中位線的知識解決如下問題：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC ， E、F分別是AB ， CD的中點，求證：EF= （AD+BC）

Answer 1

【答案】
（1）

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．

已知：△ABC中，點E、F分別是AB、AC的中點，

求證：EF∥BC且EF= BC，

證明：如圖，延長EF到D，使FD=EF，

∵點F是AC的中點，

∴AF=CF，

在△AEF和△CDF中，

AF＝FC

∠AFE＝∠CFD

EF＝FD

∴△AEF≌△CDF（SAS），

∴AE=CD，∠D=∠AEF，

∴AB∥CD，

∵點E是AB的中點，

∴AE=BE，

∴BE=CD，

∴BE CD，

∴四邊形BCDE是平行四邊形，

∴DE∥BC，DE=BC，

∴DE∥BC且EF= BC.

（2）

證明：連接AF并延長，交BC延長線于點M，

∵AD∥BC，

∴∠D=∠FCM，

∵F是CD中點，

∴DF=CF，

在△ADF和△MCF中，

∠D＝∠FCM

DF＝CF

∠AFD＝∠MFC

∴△ADF≌△MCF（ASA），

∴AF=FM，AD=CM，

∴EF是△ABM的中位線，

∴EF∥BC∥AD，EF=BM= （AD+BC）．

【解析】（1）作出圖形，然后寫出已知、求證，延長EF到D ， 使FD=EF ， 利用“邊角邊”證明△AEF和△CDF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=CD ， 全等三角形對應角相等可得∠D=∠AEF ， 再求出CE=CD ， 根據內錯角相等，兩直線平行判斷出AB∥CD ， 然后判斷出四邊形BCDE是平行四邊形，根據平行四邊形的性質可得DE∥BC ， DE=BC.（2）連接AF并延長，交BC延長線于點M ， 根據ASA證明△ADF≌△MCF ， 判斷EF是△ABM的中位線，根據三角形中位線定理即可得出結論 ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形中位線定理的相關知識，掌握連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半，以及對梯形的中位線的理解，了解梯形的中位線平行于梯形的兩底并等于兩底和的一半．